Qu'est qu'une prévision statistique ?

Sommaire de cette page

I Contexte

II Propriétés et calculs

III Intervalles de confiance au niveau de confiance a

I Contexte

La loi de Gauss, dite aussi loi de Laplace-Gauss ou loi Normale, est une loi de distribution utilisée dans de très nombreux contextes. Ils ont en commun que :

• La variable d’intérêt, notée Y, est quantitative, continue, dans l'intervalle [ - ¥ ; + ¥].
• La valeur commune à deux ou plusieurs individus est la somme de leurs valeurs, de telle sorte que la valeur moyenne de plusieurs individus est la moyenne arithmétique.

Une variable quantitative qui serait la somme d'une infinité d'autres variables quantitatives quelconques de moyennes et de variances finies, aurait pour distribution une loi de Gauss. C'est dire que cette loi ne s'impose pas aussi "naturellement", que la loi binomiale qui est associée à un processus assez facilement réalisable.

On utilisera la loi de Gauss dans l'une des deux situations suivantes :

• Un test sur les données d’un échantillon a permis d’ajuster la distribution de Y dans la population mère par la loi de Gauss, comme par exemple :

• le test de la droite de Henry sur papier Gausso - arithmétique,
• test du c²,
• test de Lilliefors.

• On peut appliquer le théorème de la limite centrale à la distribution de la statistique à laquelle on s'intéresse (exemple de la moyenne d'un échantillon).

II Propriétés et calculs

Cette loi dépend de deux paramètres, son espérance mathématique, et son écart-type. Comme il s'agit de la distribution d'une variable dans une population, on note son espérance mathématique, dite aussi moyenne, par , et son écart-type par s_Ypop.

• P(Y = y) ne peut pas se concevoir. Par définition P(Y = y) = 0. On ne peut calculer que des probabilités d’intervalles, comme, par exemple, P(Y < y). On en déduit :

P(Y < y) = P(Y £ y).

• Ces calculs sont très lourds (il faut faire des "développements en séries"). En pratique on utilise :

• Soit la table de la "loi de Gauss centrée réduite". C'est la loi de Gauss d’une variable T de moyenne = 0, et d’écart-type s_T = 1.
  Calculer P(Y < y) revient à lire dans cette table P(T < t) avec t =.
• Soit la fonction d’un tableur. Dans Excel, par exemple :
  P(Y £ y) = LOI.NORMALE(valeur_y; moyenne; écart-type; vrai).

• On a intérêt à s’aider du schéma ci dessous où les probabilités sont représentées par les surfaces limitées par l’axe horizontal des valeurs de la variable Y et la courbe. Toujours par symétrie :