Calcul des probabilités

Une épreuve incertaine est aléatoire quand on peut la répéter, et que la vraisemblance de chaque événement futur peut être quantifiée par un nombre appelé probabilité de cet événement.

Plus la réalisation d'un événement est vraisemblable, plus sa probabilité est proche de 1.
Si A se réalise toujours à l'issue de l'épreuve, on dit que c'est l'événement certain.
P(événement certain) = 1.
Moins la réalisation d'un événement est vraisemblable, plus sa probabilité est proche de 0.
Si A ne peut pas se réaliser à l'issue de l'épreuve, on dit que c'est l'événement impossible.
P(événement impossible) = 0.

II Algèbre des événements

A et B sont deux événements futurs parmi tous ceux qui peuvent être envisagés à l'issue de l'épreuve.

désigne l'événement contraire de l'événement A, qu'on peut aussi noter (CONTRAIRE DE A). Le contraire d'un événement A est l'événement qui se réalise quand A n'est pas réalisé.
(A OU B) est l'événement qui se réalise à l'issue de l'épreuve quand au moins un des deux événements A, B est réalisé.
(A ET B) est l'événement qui se réalise à l'issue de l'épreuve quand les deux événements A, B sont réalisés simultanément.

III Axiomes des probabilités

On suppose qu'on connaisse P(A) et P(B).

P(A OU B) = P(A) + P(B) – P(A ET B).
P(A/B) désigne la probabilité que A se réalise sachant que B s'est réalisé.
P(A ET B) = P(A) ´ P(B/A) = P(B) ´ P(A/B).

IV Evénements mutuellement exclusifs

Deux événements A et B sont mutuellement exclusifs quand la réalisation de l'un exclut la réalisation de l'autre. Les deux événement ne peuvent pas se produire simultanément. (A ET B) est impossible. Ceci s'écrit :

P(A ET B) = 0

Donc :

P(A OU B) = P(A) + P(B)

V Evénements contraires

L'événement (A OU ) est certain. Donc P() = 1 – P(A).

VI Evénements indépendants

Deux événements A et B sont indépendants si la réalisation de l'un n'influence pas la réalisation de l'autre. La probabilité que l'autre se produise n'est pas changée. Ceci s'écrit :

P(A/B) = P(A) ou, symétriquement P(B/A) = P(B).

On en déduit :

P(A ET B) = P(A) ´ P(B)

Et :

P(A OU B) = P(A) + P(B) – P(A) ´ P(B)

Deux événement mutuellement exclusifs sont donc parfaitement dépendants, car P(A/B) = 0, ou P(B/A) = 0.

VII Condition nécessaire pour achever un calcul de probabilité

Pour pouvoir appliquer les axiomes, il faut impérativement pouvoir trouver un ensemble d'événements tels que :

Il y ait toujours un événement de l'ensemble réalisé à l’issue de l'épreuve.
Il n’y ait qu'un seul événement de l'ensemble réalisé à l’issue de l'épreuve (ensemble d'événements mutuellement exclusifs).
Ces événements soient équiprobables.

Dans ces conditions d'un ensemble d'é.m.e.é. - d'événements mutuellement exclusifs et équiprobables, on peut représenter les é.m.e.é et les autres événements (ci-dessous E₁ et E₂) qui en sont des combinaisons par les opérations "ET", "OU", "CONTRAIRE DE" etc. de la façon suivante :

La répartition des effectifs d'é.m.e.é selon deux événements A et B et leurs contraires peut aussi se représenter dans un tableau :

événements	A
B	n_{A et B}	n_B – n_{A et B}	n_B
	n_A – n_{A et B}	N – n_B – n_{A et B}	N – n_B
	n_A	N – n_A	N

On s'intéresse à l'événement A de probabilité p(A). A se réalise quand le hasard fait sélectionner un des n_A é.m.e.é qui mesurent A.

Donc P(A) = P[(i = 1) OU … OU (i = n_A)] = .

Donc :

La probabilité d'un événement quelconque est égale à la proportion des événements de l'ensemble d'é.m.e.é. qui le réalisent.

Pour que l'événement B se réalise sachant que A s'est réalisé, il faut tomber sur un des n_{A et B} é.m.e.é B parmi les n_A événements élémentaires A. Donc :

P(B/A) = = ´ = P(A ET B)/P(A)

VIII Application à l'échantillonnage au hasard

VIII.1 Sélectionner un individu

Sélectionner au hasard un individu dans une population, revient, par définition, à prétendre disposer d'un procédé qui permet d'affirmer qu'on a, a priori, la même probabilité p de tomber sur n'importe quel individu de la population. L'ensemble d'é.m.e.é. est celui des N individus de la population, notés i = 1 à N.

On est certain de sélectionner un des N individus réputés équiprobables. Ceci revient à écrire :

P(événement certain) = 1 = P[(i = 1) OU (i = 2) OU … OU (i = N)] = N ´ p

D'où :

_p
=.

VIII.2 Sélectionner un échantillon

La taille de l'échantillon est n. La taille de la population est N. La probabilité qu'un individu figure dans l'échantillon est, que l'échantillon ait été tiré avec ou sans remise :

_p
=

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Dernière mise-à-jour de cette page : 08 décembre, 2000 16:31:09.

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