Sommaire
I Prêt sur une durée inférieure à l'année (intérêt simple)
II Prêt sur une durée supérieure à l'année
II.4 Prêt amorti en une seule fois après un nombre entier d'années
II.5 Valeur actuelle d'une somme future
II.6 Prêt amorti par annuités régulières et égales
II.7 Tableau d'amortissement du prêt amorti par annuités égales et régulières
a) Montant du prêt restant à amortir après T annuités
III Amortissement d'un prêt par annuités régulières et égales, et une valeur résiduelle
IV Prêt amorti par N échéances de périodicité supérieure à l'année
IV.1 Taux proportionnel au taux annuel alors qualifié de nominal
IV.2 Taux équivalent au taux annuel alors qualifié d'effectif
V Taux effectif global (TEG) d'un emprunt
I Prêt sur une durée inférieure à l'année (intérêt simple)
On prête PV au taux I/Y exprimé en % par an, remboursables moins d'un an après la date du prêt.
L'intérêt INT est calculé proportionnellement à la durée N du prêt exprimée en années (on dit prorata temporis), et proportionnellement au montant par une double règle de trois :
INT = PV ´ |
´ N |
Il est versé selon les cas :
N doit être exprimé :
II Prêt sur une durée supérieure à l'année
Lorsque la durée N du prêt PV est supérieure à l'année, l'intérêt dû à chaque fin d'année peut ne pas être versé. Cet intérêt s'ajoute alors obligatoirement au montant restant à rembourser. D'où l'expression d'intérêts composés.
Le montant prêté PV peut être remboursé en N fractions, chacune au bout d'un nombre entier d'années. A chaque échéance l'intérêt se calcule :
On appelle annuité (ou mensualité etc.) le total de l'intérêt et du remboursement partiel à un instant donné.
La valeur future FV à un instant donné désigne le montant algébrique cumulé d'un prêt et de ses intérêts composés compte tenu des remboursements qui ont eu lieu au cours du temps. Il lui correspond le registre et la touche FV dans la plupart des calculettes financières. Pour qu'un prêt soit complètement amorti il suffit au prêteur :
II.4 Prêt amorti en une seule fois après un nombre entier d'années
Il suffit de calculer la valeur future à intérêts composés à l'instant N prévu pour l'amortissement :
FVN = PV ´ (1 + )N
Pour utiliser une calculette financière ayant des registres financiers auxquels correspondent des touches financières PV, FV et N, ne pas oublier d'effacer le registre PMT qui intervient dans le calcul, et de s'assurer qu'un registre P/Y, s'il existe, contient la valeur 1.
II.5 Valeur actuelle d'une somme future
La valeur actuelle PV d'une somme FV, échue à la date N exprimée en années, calculée au taux annuel I/Y% est la somme qu'il suffit de placer au taux annuel I/Y, et à l'instant initial, pour obtenir cette somme FV à la date N :
PV = FV ´ (1 + ) N
Pour utiliser une calculette financière ayant des registres financiers auxquels correspondent des touches financières PV, FV et N, ne pas oublier d'effacer le registre PMT qui intervient dans le calcul, et de s'assurer qu'un registre P/Y, s'il existe, contient la valeur 1.
II.6 Prêt amorti par annuités régulières et égales
Le taux annuel est I/Y%. Le montant emprunté PV. Le prêt est remboursé en N
annuités. A chaque annuité T, non seulement l'intérêt INTT est versé, mais un remboursement partiel PRNT du montant prêté PV est effectué.
On ne compose donc plus les intérêts.
On amortit à terme échu (valeur "end" des fonctions informatiques) quand la première annuité est un an après le versement du prêt, ou à terme à
échoir (valeur "bgn" des fonctions informatiques) quand la première annuité
est versée au moment du prêt. Les remboursements sont calculés
de telle façon que l'annuité PMT reste constante.
L'expression du calcul de PMT à terme échu est  :
PV ´
Et celle de PMT à terme à échoir est :
Dans ces expressions :
II.7 Tableau d'amortissement du prêt amorti par annuités égales et régulières
On connaît le montant PV, le taux annuel I/Y, le nombre N et le montant PMT des annuités.
Le prêt est complètement amorti quand FV = 0. Le montant BAL de l'emprunt amorti par les annuités PMT restant à échoir est donc obtenu dans le registre PV :
BAL = PMT ´ |
à partir des éléments du prêt déjà entrés et calculés, en remplaçant dans le registre N la durée N par N - T.
Ce montant PRN se déduit du précédent : PRN = PV BAL.
C'est la différence du total versé et des remboursements effectués :
INTT = T ´ PMT (PV - BAL)
III Amortissement d'un prêt par annuités régulières et égales, et une valeur résiduelle
PV = PMT ´ |
+ |
IV Prêt amorti par versements constants avec une périodicité supérieure à l'année
Le taux d'intérêt I/Y est toujours exprimé en % et pour l'année. On fractionne le paiement des intérêts annuels en k versements périodiques réguliers. Ce fractionnement est habituellement mensuel (k = 12), trimestriel (k = 4) ou semestriel (k = 2). On se ramène aux cas précédents à condition de remplacer le taux annuel par un taux fractionnaire I/K, c'est-à-dire mensuel ou trimestriel ou semestriel calculé à partir du taux annuel. Il y a deux méthodes pour ce calcul.
IV.1 Taux I/Kp proportionnel au taux annuel alors qualifié de nominal
I/Kp = |
D'où la mensualité PMT à terme échu :
PV ´ |
IV.2 Taux I/Ké équivalent au taux annuel alors qualifié d'effectif
Ce taux fractionnaire est équivalent au taux annuel dans le sens où une somme placée à intérêts composés à ce taux, et surtout à son rythme, donne le même résultat que les intérêts composés annuellement au taux annuel :
(1 + |
)k = 1 + |
D'où l'équation de définition :
I/Ké = [(1 + | )1/k - 1] ´ 100 |
Et la mensualité PMT à terme échu :
PV ´ |
IV.3 Utilisation des fonctions financières des calculettes
Les calculettes financières permettent de choisir le calcul de la mensualité (ou de la trimestrialité etc.) et, en particulier, avec la TI_BAII+, selon que les versements fractionnaires seront calculés au taux fractionnaire :
proportionnel au taux annuel : |
équivalent au taux annuel : |
|
N = |
Nombre (entier) d'échéances fractionaires |
|
I/Y = |
taux annuel en % |
|
P/Y = |
fractionnement k (= 12 en mensualité, 4 en trimestrialités, etc.) |
|
C/Y = |
P/Y |
1 |
PV = |
montant du prêt |
|
PMT = |
mensualité |
|
FV = |
0 (prêt complètement amorti par les N versements) |
|
terme = |
END (échéances à terme échu) ou BGN (échéances à terme à échoir) |
Dans certaines calculettes HP financières on entre le taux annuel dans NOM, et le fractionnement des versements annuels dans P/Y lorsqu'on calcule le versement fractionnaire au taux proportionnel. Quand on veut calculer le versement fractionnaire au taux fractionnaire équivalent on entre le taux annuel dans le registre EFF, et on le convertit dans le registre NOM en un taux annuel qui a un taux fractionnaire proportionnel égal au taux équivalent au taux entré dans EFF. Le schéma suivant illustre cette correspondance :
Dans les calculettes financières Casio :
Cliquez ici pour calculer la mensualité d'un prêt remboursable par mensualités
V Taux effectif global (TEG) d'un emprunt au taux NOM
Le taux NOM désigne ici le taux qui permet de calculer l'amortissement du montant emprunté. Ce peut aussi bien être un taux effectif.
Shématiquement l'emprunteur :
Le Taux Effectif Global est alors le taux actuariel qui correspond à ces flux réels. (Décret du 11 juin 2002 qui a mis la France en conformité avec les directives européennes concernant ce calcul.)
Evidemment :
Cliquez ici pour calculer le TEG d'un prêt remboursable par mensualités
Un projet est caractérisé, en mathématiques financières par l'échéancier de ses flux nets de trésorerie (F.N.T.)
Un projet simple est le cas particulier, assez général, où le seul F.N.T. qui est une dépense nette est le flux initial FNT0, = I, (l'investissement), tous les autres flux futurs FNTt étant des recettes nettes, donc des flux positifs. Les prêts sont des projets simples, avec I = - PV.
L'entrepreneur ne réalisera le projet P que si son solde de trésorerie est strictement positif :
> 0 |
ou, pour un projet simple :
> I |
Le taux dactualisation est le taux minimum de croissance attendu par lentrepreneur pour les sommes investies dans son entreprise. On décide donc de ne retenir que les projets qui feraient mieux quun placement alternatif à ce taux. Le taux de croissance moyen des capitaux dans lentreprise lui est donc supérieur.
Le taux dactualisation est évidemment supérieur au coût des capitaux investis dans le projet.
VI.3 F.N.T.A. d'un projet simple
C'est la valeur actuelle, à l'instant de l'investissement initial, et au taux d'actualisation a, de l'ensemble des FNT du projet :
I + |
Si F.N.T.A.(P) > 0, il vaut mieux investir I dans le projet P que placer I au taux d'actualisation. Le projet est équivalent à un placement de I à intérêts composés à un taux supérieur au taux d'actualisation.
Si F.N.T.A.(P) < 0, ou même nul, il vaut mieux renoncer au projet.
Le FNTA à linstant 0, et au taux au taux d'actualisation est la plus value ou la perte virtuelle, à l'instant 0 du projet par rapport à un placement alternatif de I à ce taux.
VI.4 Taux de rentabilité interne (TRI) d'un projet simple
Cest le taux d'actualisation unique TRI, sil existe, qui rend le projet équivalent au placement alternatif à ce taux. Cest le taux auquel croissent les capitaux investis dans le projet :
FNT0 + |
= 0 |
Ce TRI existe toujours pour les projets simples. Le projet est équivalent à un placement à son TRI. Le projet est réalisable si son TRI est supérieur au taux d'actualisation, le taux de croissance attendu par l'entrepreneur des capitaux investis dans l'entreprise.
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