Résumé d'un cours de mathématiques financières

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Sommaire

I Prêt sur une durée inférieure à l'année (intérêt simple)

II Prêt sur une durée supérieure à l'année

II.1 Composition des intérêts

II.2 Amortissement d'un prêt

II.3 Valeur future

II.4 Prêt amorti en une seule fois après un nombre entier d'années

II.5 Valeur actuelle d'une somme future

II.6 Prêt amorti par annuités régulières et égales

II.7 Tableau d'amortissement du prêt amorti par annuités égales et régulières

a) Montant du prêt restant à amortir après T annuités

b) Montant du prêt déjà amorti après T annuités

c) Montant des intérêts versés après T annuités

III Amortissement d'un prêt par annuités régulières et égales, et une valeur résiduelle

IV Prêt amorti par N échéances de périodicité supérieure à l'année

IV.1 Taux proportionnel au taux annuel alors qualifié de nominal

IV.2 Taux équivalent au taux annuel alors qualifié d'effectif

IV.3 Utilisation des fonctions financières des calculettes

V Taux effectif global (TEG) d'un emprunt

VI Rentabilité d'un projet

VI.1 Projet simple

VI.2 Taux d’actualisation

VI.3 F.N.T.A. d'un projet simple

VI.4 Taux de rentabilité interne (TRI) d'un projet simple


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I    Prêt sur une durée inférieure à l'année (intérêt simple)

On prête PV au taux I/Y exprimé en % par an, remboursables moins d'un an après la date du prêt.
L'intérêt INT est calculé proportionnellement à la durée N du prêt exprimée en années (on dit prorata temporis), et proportionnellement au montant par une double règle de trois :

INT = PV ´

´ N

Il est versé selon les cas :

N doit être exprimé :

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II    Prêt sur une durée supérieure à l'année

II.1    Composition des intérêts

Lorsque la durée N du prêt PV est supérieure à l'année, l'intérêt dû à chaque fin d'année peut ne pas être versé. Cet intérêt s'ajoute alors obligatoirement au montant restant à rembourser. D'où l'expression d'intérêts composés.

II.2    Amortissement d'un prêt

Le montant prêté PV peut être remboursé en N fractions, chacune au bout d'un nombre entier d'années. A chaque échéance l'intérêt se calcule :

On appelle annuité (ou mensualité etc.) le total de l'intérêt et du remboursement partiel à un instant donné.

II.3    Valeur future

La valeur future FV à un instant donné désigne le montant algébrique cumulé d'un prêt et de ses intérêts composés compte tenu des remboursements qui ont eu lieu au cours du temps. Il lui correspond le registre et la touche FV dans la plupart des calculettes financières. Pour qu'un prêt soit complètement amorti il suffit au prêteur :

II.4    Prêt amorti en une seule fois après un nombre entier d'années

Il suffit de calculer la valeur future à intérêts composés à l'instant N prévu pour l'amortissement :

FVN = PV  ´ (1 +  )N

Pour utiliser une calculette financière ayant des registres financiers auxquels correspondent des touches financières PV, FV et N, ne pas oublier d'effacer le registre PMT qui intervient dans le calcul, et de s'assurer qu'un registre P/Y, s'il existe, contient la valeur 1.

II.5    Valeur actuelle d'une somme future

La valeur actuelle PV d'une somme FV, échue à la date N exprimée en années, calculée au taux annuel I/Y% est la somme qu'il suffit de placer au taux annuel I/Y, et à l'instant initial, pour obtenir cette somme FV à la date N :

PV = FV ´ (1 +  )– N

Pour utiliser une calculette financière ayant des registres financiers auxquels correspondent des touches financières PV, FV et N, ne pas oublier d'effacer le registre PMT qui intervient dans le calcul, et de s'assurer qu'un registre P/Y, s'il existe, contient la valeur 1.

II.6    Prêt amorti par annuités régulières et égales

Le taux annuel est I/Y%. Le montant emprunté PV. Le prêt est remboursé en N annuités. A chaque annuité T, non seulement l'intérêt INTT est versé, mais un remboursement partiel PRNT du montant prêté PV est effectué.
On ne compose donc plus les intérêts.
On amortit à terme échu (valeur "end" des fonctions informatiques) quand la première annuité est un an après le versement du prêt, ou à terme à échoir (valeur "bgn" des fonctions informatiques) quand la première annuité est versée au moment du prêt. Les remboursements sont calculés de telle façon que l'annuité PMT reste constante.

L'expression du calcul de PMT à terme échu est  :

PV ´

Et celle de PMT à terme à échoir est  :

Dans ces expressions :

  • N désigne le nombre d'annuités (qui correspond à la durée du prêt).
  • I/Y le taux annuel en %.
  • P/Y et C/Y sont des registres, qui, s'ils existent, doivent être à 1.
  • PV le montant emprunté.
  • PMT l'annuité.
  • FV doit être à zéro.
  • terme doit être à END ou BGN selon que le terme est échu ou à échoir.
  • II.7 Tableau d'amortissement du prêt amorti par annuités égales et régulières

    On connaît le montant PV, le taux annuel I/Y, le nombre N et le montant PMT des annuités.

    a) Montant du prêt restant à amortir après T annuités

    Le prêt est complètement amorti quand FV = 0. Le montant BAL de l'emprunt amorti par les annuités PMT restant à échoir est donc obtenu dans le registre PV :

    BAL = PMT ´

    à partir des éléments du prêt déjà entrés et calculés, en remplaçant dans le registre N la durée N par N - T.

    b) Montant du prêt déjà amorti après T annuités

    Ce montant PRN se déduit du précédent : PRN = PVBAL.

    c) Montant des intérêts versés après T annuités

    C'est la différence du total versé et des remboursements effectués :

    INTT = T ´ PMT – (PV - BAL)

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    III Amortissement d'un prêt par annuités régulières et égales, et une valeur résiduelle

    PV = PMT ´

    +

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    IV Prêt amorti par versements constants avec une périodicité supérieure à l'année

    Le taux d'intérêt I/Y est toujours exprimé en % et pour l'année. On fractionne le paiement des intérêts annuels en k versements périodiques réguliers. Ce fractionnement est habituellement mensuel (k = 12), trimestriel (k = 4) ou semestriel (k = 2). On se ramène aux cas précédents à condition de remplacer le taux annuel par un taux fractionnaire I/K, c'est-à-dire mensuel ou trimestriel ou semestriel calculé à partir du taux annuel. Il y a deux méthodes pour ce calcul.

    IV.1 Taux I/Kp proportionnel au taux annuel alors qualifié de nominal

    I/Kp =

    D'où la mensualité PMT à terme échu :

    PV ´

    IV.2 Taux I/Ké équivalent au taux annuel alors qualifié d'effectif

    Ce taux fractionnaire est équivalent au taux annuel dans le sens où une somme placée à intérêts composés à ce taux, et surtout à son rythme, donne le même résultat que les intérêts composés annuellement au taux annuel :

    (1 +

    )k = 1 +

    D'où l'équation de définition :

    I/Ké = [(1 +  )1/k - 1] ´ 100

    Et la mensualité PMT à terme échu :

    PV ´

    IV.3 Utilisation des fonctions financières des calculettes

    Les calculettes financières permettent de choisir le calcul de la mensualité (ou de la trimestrialité etc.) et, en particulier, avec la TI_BAII+, selon que les versements fractionnaires seront calculés au taux fractionnaire :

     

    proportionnel au taux annuel :

    équivalent au taux annuel :

    N =

    Nombre (entier) d'échéances fractionaires

    I/Y =

    taux annuel en %

    P/Y =

    fractionnement k (= 12 en mensualité, 4 en trimestrialités, etc.)

    C/Y =

    P/Y

    1

    PV =

    montant du prêt

    PMT =

    mensualité

    FV =

    0 (prêt complètement amorti par les N versements)

    terme =

    END (échéances à terme échu) ou BGN (échéances à terme à échoir)

    Dans certaines calculettes HP financières on entre le taux annuel dans NOM, et le fractionnement des versements annuels dans P/Y lorsqu'on calcule le versement fractionnaire au taux proportionnel. Quand on veut calculer le versement fractionnaire au taux fractionnaire équivalent on entre le taux annuel dans le registre EFF, et on le convertit dans le registre NOM en un taux annuel qui a un taux fractionnaire proportionnel égal au taux équivalent au taux entré dans EFF. Le schéma suivant illustre cette correspondance :

    Dans les calculettes financières Casio :

    Cliquez ici pour calculer la mensualité d'un prêt remboursable par mensualités

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    V Taux effectif global (TEG) d'un emprunt au taux NOM

    Le taux NOM désigne ici le taux qui permet de calculer l'amortissement du montant emprunté. Ce peut aussi bien être un taux effectif.

    Shématiquement l'emprunteur :

    Le Taux Effectif Global est alors le taux actuariel qui correspond à ces flux réels. (Décret du 11 juin 2002 qui a mis la France en conformité avec les directives européennes concernant ce calcul.)

    Evidemment :

    TEG > NOM.

    Cliquez ici pour calculer le TEG d'un prêt remboursable par mensualités

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    VI Rentabilité d'un projet

    Un projet est caractérisé, en mathématiques financières par l'échéancier de ses flux nets de trésorerie (F.N.T.)

    VI.1 Projet simple

    Un projet simple est le cas particulier, assez général, où le seul F.N.T. qui est une dépense nette est le flux initial FNT0, = – I, (l'investissement), tous les autres flux futurs FNTt étant des recettes nettes, donc des flux positifs. Les prêts sont des projets simples, avec I = - PV.

    L'entrepreneur ne réalisera le projet P que si son solde de trésorerie est strictement positif :

    > 0

    ou, pour un projet simple :

    I

    VI.2 Taux d’actualisation

    Le taux d’actualisation est le taux minimum de croissance attendu par l’entrepreneur pour les sommes investies dans son entreprise. On décide donc de ne retenir que les projets qui feraient mieux qu’un placement alternatif à ce taux. Le taux de croissance moyen des capitaux dans l’entreprise lui est donc supérieur.

    Le taux d’actualisation est évidemment supérieur au coût des capitaux investis dans le projet.

    VI.3 F.N.T.A. d'un projet simple

    C'est la valeur actuelle, à l'instant de l'investissement initial, et au taux d'actualisation a, de l'ensemble des FNT du projet :

    I +

    Le FNTA à l’instant 0, et au taux au taux d'actualisation est la plus value ou la perte virtuelle, à l'instant 0 du projet par rapport à un placement alternatif de I à ce taux.

    VI.4 Taux de rentabilité interne (TRI) d'un projet simple

    C’est le taux d'actualisation unique TRI, s’il existe, qui rend le projet équivalent au placement alternatif à ce taux. C’est le taux auquel croissent les capitaux investis dans le projet :

    FNT0 +

    = 0

    Ce TRI existe toujours pour les projets simples. Le projet est équivalent à un placement à son TRI. Le projet est réalisable si son TRI est supérieur au taux d'actualisation, le taux de croissance attendu par l'entrepreneur des capitaux investis dans l'entreprise.

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